どの道を使う？

Sをスタート地点、Gをゴール地点だとします。

もちろん信号はちゃんと守る前提で、早く着くためにはどのルートを通れば良いでしょうか？

早く家を出るのが正解ですが、信号待ちを減らしたいという観点で考えてみます。

とにかくはじめます🍛

グーグルの歩行ルート案内

グーグルで歩行ルート案内を使用すると、たいてい以下のようなルートが提示されます。

この場合は覚えやすいし、安全なルートなので基本的に不満はありません。 よってこれ以降、このルートを安全ルートと呼びます。

ただしこの安全ルートでは2度信号待ちの可能性があり、急いでいる場合には到着が遅れてしまう可能性があります。

効率優先のルート

本当に速くゴール地点に着きたいならば、以下のようなルートを通った方が良いです。 (と勝手に思っているだけです)

総移動距離は安全ルートと変わりません。

しかしこのルートは自動車が通る道をあえて歩くことでやや危険が伴いますが、信号待ちの可能性が減るため、早く目的地に着く可能性が高くなります。

なぜこのルートだと信号待ちが減るのでしょうか？

それはこのルートには合計7通りのルートがあり、そのルートを臨機応変に選択できるからです。

7通りとはつまり、通過する横断歩道の番号で表現すればこういうことです。

今回の場合、スタート地点からゴール地点に行く場合、どのルートを選ぼうが2回以上は横断歩道を渡る必要があります。 なので、いかに青の状態で横断歩道を通過できるかがポイントとなります。

例えば、①の前に来た時に青ならそのまま①を渡れば良いし、赤なら②か④の横断歩道に向かえば良いのです。 これが臨機応変に選択できるという意味です。

このルートを効率ルートと呼びます。

どれくらい早く着けるのか？

早く着けそうなのは分かりますが、危険を冒してまで効率ルートを選ぶ必要があるのでしょうか。

実際に計算してみましょう。

横断歩道に着いたときに青信号である確率をpとします。

この確率は、信号機が青信号である確率とほぼ等しいとします。 つまり一定の速度で歩行し、青信号になるようわざと歩く速度などを調整しないという前提です。

$$p = \frac{青信号の時間}{(赤信号の時間 + 青信号の時間)}$$

以下で各ルートにおいて、信号を待たずに渡れる確率を計算します。 なお簡単のため、すべての信号は独立とします。(現実には各信号は連携を取りながら交通量を整理します。)

安全ルートの場合

安全ルートは2台の信号機(①と⑦)を通過するため、信号待ちをすることなく通過できる確率は$p \times p = p^2$となります。

効率ルートの場合

ただし④は①と②が渡れない時に渡るという想定です。

そうすると信号待ちせずに目的に着く確率は

$$A B + C D = - p^{5} + 6 p^{4} - 11 p^{3} + 7 p^{2}$$

これでは良く分からないのでプロットしてみましょう。

青信号の点灯時間の割合が0.0(常に赤)と1.0(常に青)以外では、効率ルートの方が信号待ちすることなく目的地に着ける確率は高いことがわかります。

歩行者信号の点灯時間の割合

点灯時間の割合(上記グラフの横軸)の値が分かれば、より具体的な確率がわかります。

調べればすぐわかりますが、信号機が青になる時間はアルゴリズムで決まっているようです。

青の時間はこうして決まる、信号機のアルゴリズム | 日経 xTECH（クロステック）

しかしその時間は一定ではなく、道路状況や時間帯によっても変わるため、簡単には算出できそうにありません。

しかしもっと簡単な方法があります。

推測するな、計測せよ。

というわけで、上図のモデルとなった実際の場所で、赤信号と青信号の点灯時間を計ってみました。

やはり時間帯や信号機によってもバラつきがありましたが、私が通る時間帯はおおよそ青信号の点灯時間は赤信号の半分ほどでしたので、青信号の割合は約1/3ということになります。

その場合、4倍ほど効率ルートは信号待ちのリスクを減らせます。

• 安全ルートを通ると10回に1回ほど信号待ちが無く到着できる
• 効率ルートを通ると10回に4回ほど信号待ちが無く到着できる

まとめ

グーグルさんのルート検索でもこのようなルート提示があればうれしいかと一瞬思いましたが、やっぱり早く家を出て安全な道を通りたいと思います。

それよりグーグルさんには自動車モードでの、無茶なルート案内を改善してほしいな…